Математический Подход

Теперь перейдём к нашей основной теме
Как можно использовать пределы для определения производной функции?

Как нам уже известно, производная это скорость изменения функции в точке. Но что значит это самое "в точке"?
Начнём с того как вообще измеряется скорость. Допустим мы знаем, что одна машина выехала из города А в 10:00, и прибыла в город Б в 12:00. При этом расстояние между городами А и Б 200км. Как можно измерять среднюю скорость автомобиля на этом промежутке дороги? Очень просто, мы делим расстояние на время.
В конечном итоге получаем среднюю скорость 100км/ч. Но разве это нам много говорит о средней скорости в промежутке между 10:00 и 11:00, а вдруг в 11:00 машина была на расстоянии 150км от города А? Мы этого не знаем
Так вот чтобы найти такой промежуток времени, между которым будет очень сложно найти какие-либо значения между нам нужен предел.
Длину такого промежутка мы сможем описать с помощью следующего предела:

lim_(h -> 0) (a - (a + h))

Хорошо, это мы решили, а что с функциями то делать?
В примере с машиной мы делили разницу зависимого значения (путь) на разницу независимого (время), соответственно, первым пунктом независимого значения должно быть какое-то значение, например x, а вторым ( x + h ), при том что h стремиться к нулю. А первым пунктом зависимой переменной должно быть:
f(x), при том что вторым пунктом должно быть f(x + h).

С этим знанием мы перейдём к какой-либо простой функции, например f(x) = 2x;
Тогда наш предел выглядел бы так:

lim_(h -> 0) ( (f(x + h) - f(x)) / (x - x + h) ) = lim_(h -> 0) ( ( 2(x + h) - 2x ) / h ) = lim_(h -> 0) (2h / h) = lim_(h -> 0) (2) = 2

Значит конечный ответ это 2. Тоесть в любой своей точке функция имеет "скорость" 2.

Односторонний предел:
Как уже было сказанно в прошлом посте, можно приблизиться к значению с разных сторон, и от того, с какой стороны мы к нему приблизились, будет зависеть то, какое значение мы получим на выходе.

Как это записать?
- Очень просто, мы просто пишем плюс или минус в "степень" того числа, к которому мы желаем приблизить переменную.

Пример:
lim_(x->0^-) (1/x) - приближение с меньшей стороны, ответ минус бесконечность
lim_(x->0^+) (1/x) - приближение с большей стороны, ответ плюс бесконечность

Также есть примеры того, когда приближение с разных сторон не имеют особенной разницы, например:
lim_(x->0) (1/x^2) - тут всегда будет только лишь плюс бесконечность

В одном из вышевыложенных постов уже была упомянута такая тема как производная. В том же посте было сказанно, что существует и такое понятие как интеграл. Этой тематике я посвящаю следующий цикл, в нём будут три следующие подтемы:

1. Предел
2. Производная
3. Интеграл

Начнём с первой подтемы: Предел.
Что это в целом такое?
Предел, это такое понятие, с помощью которой мы показываем что значение какой-либо переменной очень близко, или стремится к заданному значению, но его не достигает. Его можно использовать, например если мы хотим рассмотреть поведение функции в бесконечности, или изменение функции на предельно малых отрезках.

Написание: lim_(x -> 0) f(x) (_ - означает тут, что следующее за символом выржение пишется под словом lim)

Как его можно использовать?
Допустим мы хотим узнать, к какому значению стремится функция f(x) = 1/x, при х стремящемся к 0. Это нам может понадобится, так как делить на ноль нельзя. Для этого мы делаем следующее:

lim_(x->0) (1/x); - Следующим шагом мы должны заменить переменные на значения, к которым они стремятся, в нашем случае х на 0
= 1/0; - Тут мы видим что-то, что в обычном случае имело бы неопределённый характер, но, мы решаем пределы, а для них есть определённые правила:

C / 0 = ±∞
C / ∞ = 0
0 / C = 0
∞ / C = ∞
∞ / ∞ = Неопределённость
0 / 0 = Неопределённость

В нашем случае мы видим случай с С / 0; а значит ответ бесконечность. Вуаля!
Также важно уточнить, что в нашем случае мы рассматривали предел идущий с большей стороны в меньшую, тоесть мы приближались к значению именно с большей стороны. Приближались бы мы с меньшей то ответом была бы -бесконечность. Эту тему мы ещё затронем в следующем посте.

Арксинус - это функция позволяющая получить угол соответсвующий заданному значению синуса. Например, если синус 30 градусов это 1/2, то арксинус 1/2 - это 30 градусов.
Обозначается она думя способами: arcsin() или sin^(-1) ( )⁡
Соответвенно acrsin( sin(x) ) = x если x находится между 0 и π/2

Примеры решения задач:
1. sin(x) = 0.5 | arcsin()
аrcsin( sin(x) ) = arcsin(0.5) | arcsin( sin(x) ) всегда переходит просто х
х = acrsin(0.5) | acrsin(0.5) это табличное значение, его можно всегда найти где нибудь в калькуляторе
2. Arcsin( sin(x + 4) ) = x + 4
3. Arccos( cos( 34) ) = 34
4. Arctan( tan(π) ) = π

Если х находится вне этого диапазона, то в таком случае можно использовать следующее свойство:
sin(x) = sin(x + 2π*n); n ∈ ℤ
sin(x) = sin((2*n-1)π - x); n ∈ ℤ

Это значит что у подобного уравения может быть множество решений

Пример:
sin(x)=0.6
x_0 =arcsin(0.6)
x = x_0 +2π*n И x=(2*n-1)π - x_0


#Тригонометрия #РазделыМатематики

Предпочитаемая случайность

Что будет если спросить несколько десятков человек случайное число от одного до 100? Как бы это ни было странно, чаще всего люди будут выбирать такие числа как 7, 37 и 77.
Также, если попросить тоже количество людей нажать на абсолютно случайные части пустого  квадрата, то, по какой-то причине, концентрация пунктов в всегда одинаковых зонах тоже будет выше других зон квадрата.
Если спросить человека о случайном цвете,  то чаще всего можно будет услышать слово "синий".

Почему же есть такое чёткое предпочтение случайных выборов в самых разных сферах?

Очевидно в таком случае, что на первый взгляд случайный выбор человека не случаен, даже при том что он сам пытается его именно таким и сделать.
И скорее всего, выбор именно чисел 7, 37 и 77 кажется самым случайным наибольшему количеству людей. Почему так? Возможно человек в поиске случайного числа пытаются найти число, к которому сложно прийти каким-либо логическим путём, исключаются сначала десятки, потом делящиеся на 5, два, лучше вобще что бы делителей кроме себя и единицы не было. К тому же оно не находится где-то по середине и не по бокам, что кажется более случайным.
Возможно это также имеет корни в такой вещи как золотое сечение, что тоже исключать не стоит.

А какие мысли у вас есть на этот счёт?