Можно еще попробовать привести несколько ответов на вопрос "почему группы важны". Первый ответ связан с тем, что "есть классифицирующее пространство", второй более инструментальный (но тоже связан чуть менее очевидно).
Первый ответ. В какой-то момент мы понимаем, что важен не сам факт равенства (бинарный предикат: 1, а не 0), а изоморфизмы, которые его реализуют (не равномощность, а биекция, не верность теоремы, а ее доказательство). Концепт множества чувствуется как дискретная пыль, что-то неживое (размер множества — его полный инвариант). Мы понимаем, что множества разумно обобщаются до (1-)группоидов (множества суть 0-группоиды).
На эту (в том числе) тему у Кларка Барвика есть замечательное эссе
The future of Homotopy Theory [2017].
Два включения
Monoid → Cat ← Preorder
показывают, что концепт
категории — это общее обобщение понятий
моноида и
предпорядка. Они сужаются до включений
Group → Groupoid ← Set.
В этот момент мы начинаем чувствовать, что группоиды это анимированные множества (у точки появляются автоморфизмы, мы вдыхаем лат.
anima — душу — в наши контексты)
Если продолжать эту аналогию, мы придем к концепту ∞-группоида (Питер Шольце называет ∞-группоиды Anima, поэтому иногда можно встретить в современных статьях сокращение
An для (∞-)категории гомотопических типов).
Чтобы прочувствовать идею анимированности — рекомендую прочитать введение к
работе Каледина.
С другой стороны, группоиды можно восстановить как асферичные ∞-группоиды (допускающие
внутреннее определение без апелляции к гомотопическим группам), поэтому если мы верим в естественность теории гомотопий, то мы верим, что любая цивилизация неизбежно пришла бы к теории группоидов, даже если бы руководствовалась другими языками и формализмами.
В пунктированном сеттинге
теория группоидов вырождается до
теории групп и становится более ручной.
Второй ответ. Нас интересуют формы организации пространственной информации (то есть
гомотопические типы). Любую форму можно склеить из материала (шариков) по граничным отображениям (отображениям из сфер). Сферу можно пинчить (структура когруппы на надстройке), поэтому на [Sⁿ, X] бесплатно возникает структура группы. Бесплатная структура это всегда хорошо, например, потому что она помогает решать задачи классификации. С другой стророны, если смотреть не только на категорные копроизведения, но и на произведения, то сферы приводят к еще интересной структуре — скобке Уайтхеда. Так мы понимаем, что важны не только группы, но и алгебры Ли.
На эту (ли?) тему рекомендую (!) также посмотреть проясняющие
доклад и
страничку.
