Эллиот Либ (Elliott Lieb) – математик и физик-теоретик, доказавший множество важных теорем, накладывающих точные ограничения на поведение физических систем. Эта книга представляет сборник его избранных работ, касающихся физики конденсированной материи.
Вот сильно неполный список задач, которым посвящены эти работы:
• Бозонизация фермионных систем и, в частности, точное решение одномерной модели Хаббарда.
• Доказательство того, что модель Хаббарда с притяжением должна иметь в основном состоянии нулевой спин при любом четном числе электронов.
• Знаменитая теорема Либа-Шульца-Маттиса о том, что система спинов, обладающая инвариантностью относительно вращений и трансляций, с полуцелым спином, приходящимся на одну ячейку, должна либо быть бесщелевой, либо спонтанно нарушать какую-либо из симметрий (т.е. в ней должны устанавливаться ферромагнетизм, антиферромагнетизм или иной тип магнитного упорядочения), либо быть щелевой спиновой жидкостью.
• Установление шахматного узора намагниченности в модели Фаликова-Кимбала.
• Доказательство того, что переход Пайерлса в одномерной цепочке – это единственное нарушение симметрии, способное понизить энергию системы при гармоническом взаимодействии атомов и линейной зависимости интегралов электронных перескоков от расстояния.
• Доказательство того, что энергия основного состояния системы электронов – одномерной или антиферромагнитной гейзенберговской – при заданном спине S удовлетворяет соотношению E(S) ≤ E(S+1), то есть наименьшие спины являются наиболее выгодными по энергии.
• Доказательство существования лазерной генерации в модели Дике.
• Доказательство стабильности полярона, то есть ограниченности его энергии снизу, при сколь угодно большой константе электрон-фононного взаимодействия.
• Доказательство того, что в главном порядке плотности ρ энергия N взаимодействующих бозонов в двух измерениях дается выражением E = 4πNρ/ln(ρa²), где a – длина рассеяния.
• Доказательство того, что уравнение Гросса-Питаевского для взаимодействующих бозонов становится точным в пределе N → ∞, а → 0, Na = const.
• Строгое доказательство существования бозе-конденсации в основном состоянии трехмерной системы взаимодействующих бозонов при некоторых ограничениях на потенциал взаимодействия.
• Доказательство того, что бозе-конденсация сохраняется в слабом периодическом потенциале, но исчезает при слишком большой его амплитуде.
• Расчет энтропии квадратного и кубического спинового льда.
• Операторная алгебра Темперли-Либа, которая была разработана для анализа спинового льда, а затем нашла применения в теории перколяции, задачах раскрашивания графов и других задачах геометрии и топологии.
• Альтернативное точное решение двумерной модели Изинга – физически более прозрачное, чем оригинальное решение Онзагера.
#твердое_тело #магнетизм #бозе_конденсация
Вот сильно неполный список задач, которым посвящены эти работы:
• Бозонизация фермионных систем и, в частности, точное решение одномерной модели Хаббарда.
• Доказательство того, что модель Хаббарда с притяжением должна иметь в основном состоянии нулевой спин при любом четном числе электронов.
• Знаменитая теорема Либа-Шульца-Маттиса о том, что система спинов, обладающая инвариантностью относительно вращений и трансляций, с полуцелым спином, приходящимся на одну ячейку, должна либо быть бесщелевой, либо спонтанно нарушать какую-либо из симметрий (т.е. в ней должны устанавливаться ферромагнетизм, антиферромагнетизм или иной тип магнитного упорядочения), либо быть щелевой спиновой жидкостью.
• Установление шахматного узора намагниченности в модели Фаликова-Кимбала.
• Доказательство того, что переход Пайерлса в одномерной цепочке – это единственное нарушение симметрии, способное понизить энергию системы при гармоническом взаимодействии атомов и линейной зависимости интегралов электронных перескоков от расстояния.
• Доказательство того, что энергия основного состояния системы электронов – одномерной или антиферромагнитной гейзенберговской – при заданном спине S удовлетворяет соотношению E(S) ≤ E(S+1), то есть наименьшие спины являются наиболее выгодными по энергии.
• Доказательство существования лазерной генерации в модели Дике.
• Доказательство стабильности полярона, то есть ограниченности его энергии снизу, при сколь угодно большой константе электрон-фононного взаимодействия.
• Доказательство того, что в главном порядке плотности ρ энергия N взаимодействующих бозонов в двух измерениях дается выражением E = 4πNρ/ln(ρa²), где a – длина рассеяния.
• Доказательство того, что уравнение Гросса-Питаевского для взаимодействующих бозонов становится точным в пределе N → ∞, а → 0, Na = const.
• Строгое доказательство существования бозе-конденсации в основном состоянии трехмерной системы взаимодействующих бозонов при некоторых ограничениях на потенциал взаимодействия.
• Доказательство того, что бозе-конденсация сохраняется в слабом периодическом потенциале, но исчезает при слишком большой его амплитуде.
• Расчет энтропии квадратного и кубического спинового льда.
• Операторная алгебра Темперли-Либа, которая была разработана для анализа спинового льда, а затем нашла применения в теории перколяции, задачах раскрашивания графов и других задачах геометрии и топологии.
• Альтернативное точное решение двумерной модели Изинга – физически более прозрачное, чем оригинальное решение Онзагера.
#твердое_тело #магнетизм #бозе_конденсация