Вот это очень интересная работа, в которой решена проблема 40-летней давности о том, как правильно выводить эффективно классическую динамику для подсистемы квантовой системы.
Как известно, квантовые эффекты пропадают, если стремить постоянную Планка ħ, задающую квантовый масштаб действия, к нулю. По этой причине предел ħ → 0 называется классическим пределом. Восстановление классического предела работает и на языке уравнений. Например, состояние квантовой системы можно описывать при помощи функции Вигнера W(q, p) – матрицы плотности ρ(q + r/2, q – r/2), подвергнутой преобразованию Фурье по переменной r с импульсом p. Функция Вигнера подчиняется уравнению, которое в пределе ħ → 0 превращается в классическое уравнение Лиувилля ∂W/∂t = {Н,W} со скобками Пуассона.
Важное свойство уравнения Лиувилля в том, что оно сохраняет положительную определенность функции Вигнера – таким образом, ее можно уже интерпретировать как плотность распределения состояния классической статистической системы по фазовому пространству. Исходное же квантовое уравнение для W при конечных ħ не сохраняет ее положительную определенность, делая невозможным описание динамики на классическом языке.
Однако описанная процедура получения классического уравнения для функции Вигнера в пределе ħ → 0 не работает, когда мы хотим сделать эффективно классической лишь одну из двух взаимодействующих подсистем, оставив другую квантовой. А такая процедура может быть востребованной для ряда задач, начиная с первопринципного обоснования элементарной молекулярной динамики, где движение атомных ядер считается классическим, а поведение электронов существенно квантовым. Проблема состоит в том, что даже если для «классической» подсистемы взять предел ħ → 0, так что ее внутренняя динамика будет описываться уравнением Лиувилля, сохраняющим положительную определенность функции Вигнера W, за счет взаимодействия с оставшейся «квантовой» частью системы между подсистемами постоянно генерируется квантовая запутанность. Как следствие, если в какой-то момент времени W классической подсистемы является неотрицательной, спустя небольшое время она теряет это свойство.
Для решения этой проблемы авторы предлагают учитывать декогеренцию, обусловленную взаимодействием классической подсистемы с окружением – в контексте многих задач она действительно играет важную роль при установлении классического предела. Технически это можно сделать, проецируя W(q, p) через равные промежутки времени τ на базис когерентных состояний в пространстве (q, p). Такое проецирование размазывает W(q, p) на мелких масштабах, устраняя участки ее отрицательных значений.
Оказывается, правильный классический предел для подсистемы получается при ħ → 0, τ → 0, ħ/τ = const, то есть когда мы устраняем квантовые эффекты, но и делаем характерное время потери когерентности τ бесконечно малым. Отношение же E_f = ħ/τ, имеющее смысл характерной энергии квантовых флуктуаций системы за счет окружения, должно оставаться при этом постоянным. Уравнение для функции Вигнера классической части системы и эффективный гамильтониан для оставшейся квантовой части системы имеют довольно громоздкий вид, но, тем не менее, обладают всеми нужными свойствами.
#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки
Как известно, квантовые эффекты пропадают, если стремить постоянную Планка ħ, задающую квантовый масштаб действия, к нулю. По этой причине предел ħ → 0 называется классическим пределом. Восстановление классического предела работает и на языке уравнений. Например, состояние квантовой системы можно описывать при помощи функции Вигнера W(q, p) – матрицы плотности ρ(q + r/2, q – r/2), подвергнутой преобразованию Фурье по переменной r с импульсом p. Функция Вигнера подчиняется уравнению, которое в пределе ħ → 0 превращается в классическое уравнение Лиувилля ∂W/∂t = {Н,W} со скобками Пуассона.
Важное свойство уравнения Лиувилля в том, что оно сохраняет положительную определенность функции Вигнера – таким образом, ее можно уже интерпретировать как плотность распределения состояния классической статистической системы по фазовому пространству. Исходное же квантовое уравнение для W при конечных ħ не сохраняет ее положительную определенность, делая невозможным описание динамики на классическом языке.
Однако описанная процедура получения классического уравнения для функции Вигнера в пределе ħ → 0 не работает, когда мы хотим сделать эффективно классической лишь одну из двух взаимодействующих подсистем, оставив другую квантовой. А такая процедура может быть востребованной для ряда задач, начиная с первопринципного обоснования элементарной молекулярной динамики, где движение атомных ядер считается классическим, а поведение электронов существенно квантовым. Проблема состоит в том, что даже если для «классической» подсистемы взять предел ħ → 0, так что ее внутренняя динамика будет описываться уравнением Лиувилля, сохраняющим положительную определенность функции Вигнера W, за счет взаимодействия с оставшейся «квантовой» частью системы между подсистемами постоянно генерируется квантовая запутанность. Как следствие, если в какой-то момент времени W классической подсистемы является неотрицательной, спустя небольшое время она теряет это свойство.
Для решения этой проблемы авторы предлагают учитывать декогеренцию, обусловленную взаимодействием классической подсистемы с окружением – в контексте многих задач она действительно играет важную роль при установлении классического предела. Технически это можно сделать, проецируя W(q, p) через равные промежутки времени τ на базис когерентных состояний в пространстве (q, p). Такое проецирование размазывает W(q, p) на мелких масштабах, устраняя участки ее отрицательных значений.
Оказывается, правильный классический предел для подсистемы получается при ħ → 0, τ → 0, ħ/τ = const, то есть когда мы устраняем квантовые эффекты, но и делаем характерное время потери когерентности τ бесконечно малым. Отношение же E_f = ħ/τ, имеющее смысл характерной энергии квантовых флуктуаций системы за счет окружения, должно оставаться при этом постоянным. Уравнение для функции Вигнера классической части системы и эффективный гамильтониан для оставшейся квантовой части системы имеют довольно громоздкий вид, но, тем не менее, обладают всеми нужными свойствами.
#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки