Как я писал выше, система уравнений, описывающих классическую динамику одной подсистемы и связанную с ней квантовую динамику другой подсистемы, в общем виде выглядят довольно сложно.
Но авторы рассмотрели пару простых примеров, основанных на гармонических осцилляторах. Оказывается, в пределе ħ → 0, τ → 0, E_f = ħ/τ = const функция Вигнера W классической подсистемы подчиняется уравнению Лиувилля с дополнительной квантовой диффузией. В простейшем случае оно выглядит как
∂W/∂t = {Н,W} + E_f [∂²W/∂q² + ∂²W/∂p²]/2.
Первое слагаемое в правой части – это скобки Пуассона, отвечающие за классическую динамику, а второе слагаемое придает функции W дополнительную диффузию вдоль переменных q и p, интенсивность которой пропорциональна E_f. Это квантовая диффузия, обусловленная взаимодействием системы с окружением.
Интересно, что такая форма уравнения для W согласуется с теоремой Павулы (Pawula theorem), согласно которой для сохранения положительной определенности функции W уравнение для нее не должно содержать производных более высокой степени, чем вторая. Иными словами, общее уравнение, сохраняющее положительную определенность, должно иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Производные первого порядка по q и p здесь имеются в скобках Пуассона, второго порядка – в диффузионном члене. Исходное квантовое уравнение для W содержит производные всех порядков до бесконечности, поэтому положительную определенность не сохраняют.
Кстати говоря, оставшаяся квантовая часть системы подчиняется динамике, параметры которой зависят от состояния классической системы. Здесь интересен предел E_f → 0, отвечающий исчезающе слабой диффузии. Авторы обнаружили, что возможны два варианта поведения квантовой системы в этом пределе. В первом случае возникает когерентный контроль над квантовой системой со стороны классической: примерно как в традиционной квантовой механике, где классическое окружение выступает «сценой», на фоне которой развивается унитарная динамика квантовой системы (например, квантовая частица движется в потенциале, заданном внешними классическими силами). Во втором случае квантовая система подвергается быстрой декогеренции и ее состояние коллапсирует к вектору, определяемому текущим состоянием квантовой системы. Это случай квантового эффекта Зенона – «замораживания» динамики квантовой системы под сильным влиянием измерительного прибора. Но при каких условиях реализуется каждый из двух сценариев, в общем случае пока непонятно.
#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки
Но авторы рассмотрели пару простых примеров, основанных на гармонических осцилляторах. Оказывается, в пределе ħ → 0, τ → 0, E_f = ħ/τ = const функция Вигнера W классической подсистемы подчиняется уравнению Лиувилля с дополнительной квантовой диффузией. В простейшем случае оно выглядит как
∂W/∂t = {Н,W} + E_f [∂²W/∂q² + ∂²W/∂p²]/2.
Первое слагаемое в правой части – это скобки Пуассона, отвечающие за классическую динамику, а второе слагаемое придает функции W дополнительную диффузию вдоль переменных q и p, интенсивность которой пропорциональна E_f. Это квантовая диффузия, обусловленная взаимодействием системы с окружением.
Интересно, что такая форма уравнения для W согласуется с теоремой Павулы (Pawula theorem), согласно которой для сохранения положительной определенности функции W уравнение для нее не должно содержать производных более высокой степени, чем вторая. Иными словами, общее уравнение, сохраняющее положительную определенность, должно иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Производные первого порядка по q и p здесь имеются в скобках Пуассона, второго порядка – в диффузионном члене. Исходное квантовое уравнение для W содержит производные всех порядков до бесконечности, поэтому положительную определенность не сохраняют.
Кстати говоря, оставшаяся квантовая часть системы подчиняется динамике, параметры которой зависят от состояния классической системы. Здесь интересен предел E_f → 0, отвечающий исчезающе слабой диффузии. Авторы обнаружили, что возможны два варианта поведения квантовой системы в этом пределе. В первом случае возникает когерентный контроль над квантовой системой со стороны классической: примерно как в традиционной квантовой механике, где классическое окружение выступает «сценой», на фоне которой развивается унитарная динамика квантовой системы (например, квантовая частица движется в потенциале, заданном внешними классическими силами). Во втором случае квантовая система подвергается быстрой декогеренции и ее состояние коллапсирует к вектору, определяемому текущим состоянием квантовой системы. Это случай квантового эффекта Зенона – «замораживания» динамики квантовой системы под сильным влиянием измерительного прибора. Но при каких условиях реализуется каждый из двух сценариев, в общем случае пока непонятно.
#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки