II. Гомоскедастическая регрессия

Пусть (Y_i, X_i) iid. Специфицируем условное матожидание и дисперсию игреков при данных иксах. Заметим, что мы не предполагаем нормальность игреков — ни условную, ни маргинальную. Получается полупараметрическая модель. Полупараметрическая — потому что мы предполагаем, что два момента специфицированы правильно, но не опираемся на нормальность или какое-то другое параметрическое семейство (как в случае нормальной или пуассонской регрессии).

Можно показать, что OLS оценки бет в такой модели состоятельны и асимптотически нормальны (с помощью теории Z-оценок и pseudo-score статистик; пишите в комментах, если хотите про это подробнее почитать.) Однако здесь мы вынуждены предполагать, что у регрессоров существует матрица вторых моментов, которая невырождена и конечна (вторая строка на пикче).

Что тут важно:
1. В отличие от нормальной регрессии, мы налагаем ограничения на распределение регрессоров. Это допущение скорее технического характера (мы всегда можем сказать, что рассматриваем только иксы в интервале от a до b, что обеспечит соблюдение второй строки), бат стил.
2. Тесты в такой модели асимптотические — нам нужно достаточное количество наблюдений, они не работают для малых выборок.
3. Статвывод в такой модели можно проводить как условно при данных регрессорах, так и маргинально: вторая строка с картинки и независимость наблюдений гарантируют, что результаты совпадут.