Почему всё становится нормальным?
Вся математика - про упрощение и приближение. Упрощаешь сложное в простое и получаешь возможность считать, оценивать и интерпретировать. Расскажу про один из классных инструментов такого упрощения в статистике - Центральную Предельную Теорему.
Представь себя на позиции финансового менеджера. Сможешь решить задачу?
Если распределение нормальное, то ответ сходу: 1.65 * 2% * 1000000 руб = 33000 руб. Откуда 1.65? Это квантиль нормального распределения. Для него все давно посчитано и лежит в таблицах. А если распределение не нормальное? Тогда придётся считать комбинаторику с факториалами.
Здесь на помощь приходит ЦПТ. Она говорит: сумма многих независимых случайных величин распределена приближенно нормально. И неважно, как распределены сами слагаемые.
Почему так происходит? Когда складываешь много случайных величин, граничные кейсы гасят друг друга. Например, ты подбросил монету 100 раз. Вероятность получить 100 орлов мала. То же самое с нулем орлов. А вот получить около 50 орлов - шансы высоки. Результат концентрируется вокруг среднего с небольшими хвостами на концах. Это и есть форма нормального распределения.
Биномиальное распределение - это сумма бернуллевских величин. Пуассоновское - можно представить как сумму. Доходность портфеля - это тоже сумма доходностей отдельных активов.
Каждая акция может иметь странное распределение с длинными хвостами и асимметрией. Но портфель из 50 акций уже почти нормальный.
Почему это удобно? Нормальное распределение хорошо изучено: квантили в таблицах, формулы для доверительных интервалов, готовые статистические тесты. ЦПТ позволяет использовать весь этот инструментарий для величин, которые изначально распределены как угодно. Главное условие - наличие суммы.
Вся математика - про упрощение и приближение. Упрощаешь сложное в простое и получаешь возможность считать, оценивать и интерпретировать. Расскажу про один из классных инструментов такого упрощения в статистике - Центральную Предельную Теорему.
Представь себя на позиции финансового менеджера. Сможешь решить задачу?
Портфель 1 млн рублей, дневная волатильность 2%. Какой максимальный убыток с вероятностью 95%?
Если распределение нормальное, то ответ сходу: 1.65 * 2% * 1000000 руб = 33000 руб. Откуда 1.65? Это квантиль нормального распределения. Для него все давно посчитано и лежит в таблицах. А если распределение не нормальное? Тогда придётся считать комбинаторику с факториалами.
Здесь на помощь приходит ЦПТ. Она говорит: сумма многих независимых случайных величин распределена приближенно нормально. И неважно, как распределены сами слагаемые.
Почему так происходит? Когда складываешь много случайных величин, граничные кейсы гасят друг друга. Например, ты подбросил монету 100 раз. Вероятность получить 100 орлов мала. То же самое с нулем орлов. А вот получить около 50 орлов - шансы высоки. Результат концентрируется вокруг среднего с небольшими хвостами на концах. Это и есть форма нормального распределения.
Биномиальное распределение - это сумма бернуллевских величин. Пуассоновское - можно представить как сумму. Доходность портфеля - это тоже сумма доходностей отдельных активов.
Каждая акция может иметь странное распределение с длинными хвостами и асимметрией. Но портфель из 50 акций уже почти нормальный.
Почему это удобно? Нормальное распределение хорошо изучено: квантили в таблицах, формулы для доверительных интервалов, готовые статистические тесты. ЦПТ позволяет использовать весь этот инструментарий для величин, которые изначально распределены как угодно. Главное условие - наличие суммы.