Бассейн эргодичности

Как я писал выше, система уравнений, описывающих классическую динамику одной подсистемы и связанную с ней квантовую динамику другой подсистемы, в общем виде выглядят довольно сложно.

Но авторы рассмотрели пару простых примеров, основанных на гармонических осцилляторах. Оказывается, в пределе ħ → 0, τ → 0, E_f = ħ/τ = const функция Вигнера W классической подсистемы подчиняется уравнению Лиувилля с дополнительной квантовой диффузией. В простейшем случае оно выглядит как
∂W/∂t = {Н,W} + E_f [∂²W/∂q² + ∂²W/∂p²]/2.
Первое слагаемое в правой части – это скобки Пуассона, отвечающие за классическую динамику, а второе слагаемое придает функции W дополнительную диффузию вдоль переменных q и p, интенсивность которой пропорциональна E_f. Это квантовая диффузия, обусловленная взаимодействием системы с окружением.

Интересно, что такая форма уравнения для W согласуется с теоремой Павулы (Pawula theorem), согласно которой для сохранения положительной определенности функции W уравнение для нее не должно содержать производных более высокой степени, чем вторая. Иными словами, общее уравнение, сохраняющее положительную определенность, должно иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Производные первого порядка по q и p здесь имеются в скобках Пуассона, второго порядка – в диффузионном члене. Исходное квантовое уравнение для W содержит производные всех порядков до бесконечности, поэтому положительную определенность не сохраняют.

Кстати говоря, оставшаяся квантовая часть системы подчиняется динамике, параметры которой зависят от состояния классической системы. Здесь интересен предел E_f → 0, отвечающий исчезающе слабой диффузии. Авторы обнаружили, что возможны два варианта поведения квантовой системы в этом пределе. В первом случае возникает когерентный контроль над квантовой системой со стороны классической: примерно как в традиционной квантовой механике, где классическое окружение выступает «сценой», на фоне которой развивается унитарная динамика квантовой системы (например, квантовая частица движется в потенциале, заданном внешними классическими силами). Во втором случае квантовая система подвергается быстрой декогеренции и ее состояние коллапсирует к вектору, определяемому текущим состоянием квантовой системы. Это случай квантового эффекта Зенона – «замораживания» динамики квантовой системы под сильным влиянием измерительного прибора. Но при каких условиях реализуется каждый из двух сценариев, в общем случае пока непонятно.

#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки

Вот это очень интересная работа, в которой решена проблема 40-летней давности о том, как правильно выводить эффективно классическую динамику для подсистемы квантовой системы.

Как известно, квантовые эффекты пропадают, если стремить постоянную Планка ħ, задающую квантовый масштаб действия, к нулю. По этой причине предел ħ → 0 называется классическим пределом. Восстановление классического предела работает и на языке уравнений. Например, состояние квантовой системы можно описывать при помощи функции Вигнера W(q, p) – матрицы плотности ρ(q + r/2, q – r/2), подвергнутой преобразованию Фурье по переменной r с импульсом p. Функция Вигнера подчиняется уравнению, которое в пределе ħ → 0 превращается в классическое уравнение Лиувилля ∂W/∂t = {Н,W} со скобками Пуассона.

Важное свойство уравнения Лиувилля в том, что оно сохраняет положительную определенность функции Вигнера – таким образом, ее можно уже интерпретировать как плотность распределения состояния классической статистической системы по фазовому пространству. Исходное же квантовое уравнение для W при конечных ħ не сохраняет ее положительную определенность, делая невозможным описание динамики на классическом языке.

Однако описанная процедура получения классического уравнения для функции Вигнера в пределе ħ → 0 не работает, когда мы хотим сделать эффективно классической лишь одну из двух взаимодействующих подсистем, оставив другую квантовой. А такая процедура может быть востребованной для ряда задач, начиная с первопринципного обоснования элементарной молекулярной динамики, где движение атомных ядер считается классическим, а поведение электронов существенно квантовым. Проблема состоит в том, что даже если для «классической» подсистемы взять предел ħ → 0, так что ее внутренняя динамика будет описываться уравнением Лиувилля, сохраняющим положительную определенность функции Вигнера W, за счет взаимодействия с оставшейся «квантовой» частью системы между подсистемами постоянно генерируется квантовая запутанность. Как следствие, если в какой-то момент времени W классической подсистемы является неотрицательной, спустя небольшое время она теряет это свойство.

Для решения этой проблемы авторы предлагают учитывать декогеренцию, обусловленную взаимодействием классической подсистемы с окружением – в контексте многих задач она действительно играет важную роль при установлении классического предела. Технически это можно сделать, проецируя W(q, p) через равные промежутки времени τ на базис когерентных состояний в пространстве (q, p). Такое проецирование размазывает W(q, p) на мелких масштабах, устраняя участки ее отрицательных значений.

Оказывается, правильный классический предел для подсистемы получается при ħ → 0, τ → 0, ħ/τ = const, то есть когда мы устраняем квантовые эффекты, но и делаем характерное время потери когерентности τ бесконечно малым. Отношение же E_f = ħ/τ, имеющее смысл характерной энергии квантовых флуктуаций системы за счет окружения, должно оставаться при этом постоянным. Уравнение для функции Вигнера классической части системы и эффективный гамильтониан для оставшейся квантовой части системы имеют довольно громоздкий вид, но, тем не менее, обладают всеми нужными свойствами.

#квантовая_механика #открытые_квантовые_системы #отвал_башки