Теперь перейдём к нашей основной теме
Как можно использовать пределы для определения производной функции?

Как нам уже известно, производная это скорость изменения функции в точке. Но что значит это самое "в точке"?
Начнём с того как вообще измеряется скорость. Допустим мы знаем, что одна машина выехала из города А в 10:00, и прибыла в город Б в 12:00. При этом расстояние между городами А и Б 200км. Как можно измерять среднюю скорость автомобиля на этом промежутке дороги? Очень просто, мы делим расстояние на время.
В конечном итоге получаем среднюю скорость 100км/ч. Но разве это нам много говорит о средней скорости в промежутке между 10:00 и 11:00, а вдруг в 11:00 машина была на расстоянии 150км от города А? Мы этого не знаем
Так вот чтобы найти такой промежуток времени, между которым будет очень сложно найти какие-либо значения между нам нужен предел.
Длину такого промежутка мы сможем описать с помощью следующего предела:

lim_(h -> 0) (a - (a + h))

Хорошо, это мы решили, а что с функциями то делать?
В примере с машиной мы делили разницу зависимого значения (путь) на разницу независимого (время), соответственно, первым пунктом независимого значения должно быть какое-то значение, например x, а вторым ( x + h ), при том что h стремиться к нулю. А первым пунктом зависимой переменной должно быть:
f(x), при том что вторым пунктом должно быть f(x + h).

С этим знанием мы перейдём к какой-либо простой функции, например f(x) = 2x;
Тогда наш предел выглядел бы так:

lim_(h -> 0) ( (f(x + h) - f(x)) / (x - x + h) ) = lim_(h -> 0) ( ( 2(x + h) - 2x ) / h ) = lim_(h -> 0) (2h / h) = lim_(h -> 0) (2) = 2

Значит конечный ответ это 2. Тоесть в любой своей точке функция имеет "скорость" 2.