Этнографическая заметка: крупнейшим по площади субъектом федерации является Республика Саха (Якутия), названная в честь, кто бы мог подумать, обитающих там тюрок народа саха. Обиходное русское название — от Якутской области, та же от Якутского острога, срубленного в месте населённом, однако, якутами.
Якутами живущих на Лене саха русскоязычные казаки прозвали, узнав о них либо от соседних тунгусов (что-то вроде "екэ/якэ"), либо, вероятнее, от бурят-монгол, что называли их "якууд" (множественное число, ставшее в русском основой единственного "якут"), в единственном числе же "яка".

Интересно то, что самоназвание якутов и их экзоэтноним у бурятов — одно и то же слово, переводящееся, что забавно, "украинцы", в смысле живущие на краю света.
Между яка (точнее даже яqa с увулярным q) и саха вроде бы мало общего, но якуты отделили себя от остальных тюрок необычным фонетическим смещением начального й- в с-; дальше же легко представить веляризацию q в х. В (анатолийском) турецком "яка" до сих пор означает, в том числе, край — в казахском это же слово звучит как жаqа. Другой пример регулярности замены й- на -с: турецкое отрицание "йок", узбецкое "йоq", волго-татарское "юк" — и якутское "суох".

То есть русские называют саха по их же самоназванию до миграции в собственно будущую Якутию или сразу после миграции.
Интересно было бы найти схожие случаи, где экзоэтноним является эндоэтнонимом 500+ летней давности.