在数学上，以如下方式定义灵魂：

对于一个完备的、非负截面曲率的非紧黎曼流形M，存在一个totally convex的紧子流形S，使得M可以形变收缩到S。

有更强的结论：存在一个M到S的Riemannian submersion。这个S就被称为M的灵魂（soul）。这个结论现在被称为灵魂定理（soul theorem），证明主要用到了距离函数的凸性 (convexity of distance function)。

为什么S被命名为灵魂？从拓扑上看，S包含了M的所有同伦信息（因为S是M的形变收缩核）；从几何上看，S是totally convex，也就推出S是totally geodesic，那么S也继承了M的曲率信息。

给定M，它的所有灵魂都是等距同构的（isometric）；M的所有灵魂的集合被称为天堂（heaven）。

https://en.wikipedia.org/wiki/Soul_theorem